1.電路分析基礎(chǔ)正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

4.1 正弦信號(hào)與相量本章開始研究在含有R、L、C等元件的電路中，當(dāng)輸入信號(hào)為正弦交流電壓或電流，且電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)（即電路的響應(yīng)也僅為正弦量）的分析方法4.1.1 正弦信號(hào)正弦信號(hào)是最基本的周期信號(hào)，它是任何其他周期信號(hào)或非周期信號(hào)的基本元素。

2.電路正弦穩(wěn)態(tài)電路分析題型集錦

為了100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇便于對(duì)電路做正弦穩(wěn)態(tài)（sinusoidal steady state）分析，這里首先重溫正弦信號(hào)的基本概念按正弦規(guī)律變化的電壓或電流稱為正弦交流電如圖 4-2 所示，以 ωt 為橫坐標(biāo)的正弦交流電壓 u （ t ），其函數(shù)表達(dá)式為。

3.電路正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例題

圖 4-2 正弦波

4.電路理論正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析

[1] 中， U m 稱為該電壓的振幅， ω 稱為正弦量的角頻率，（ ωt + θ ）稱為相位， t =0 時(shí)的相位 θ 稱為初相位，簡稱初相通常，最大值 U m 、角頻率 ω 和初相位 θ 稱為正弦量的三要素。

5.電路分析實(shí)驗(yàn)正弦穩(wěn)態(tài)電路的研究

只要知道了正弦函數(shù)的這三個(gè)要素，就可以立即確定100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇它的解析表達(dá)式角頻率 ω 是衡量交流電變化快慢的物理量由于正弦信號(hào)每重復(fù)一次要變化 2π 弧度，所以角頻率 ω、 頻率 f 和周期 T 之間的關(guān)系為f =1 /T。

6.正弦穩(wěn)態(tài)電路總結(jié)

ω =2π f =2π /T式中， ω 的單位為弧度 / 秒，記為 rad/s頻率 f 的單位為赫 [茲]，記為 Hz初相的概念非常重要，有必要做進(jìn)一步的說明由式（4-1）可知，初相角 θ 決定了正弦量在 t =0 時(shí)電壓初始值的大小，即 u （0）= U m sin θ 。

7.正弦穩(wěn)態(tài)電路分析三要素法

在圖形上，當(dāng)以 ωt 為橫坐標(biāo)時(shí)，初相就是正弦曲線零值點(diǎn)與 t =0 點(diǎn)間的弧度數(shù)不過，正弦信號(hào)是一個(gè)以 2π 100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇為周期的函數(shù)，其零值點(diǎn)很多，究竟選哪一個(gè)作為計(jì)算初相的標(biāo)準(zhǔn)呢？通常規(guī)定：當(dāng)正弦曲線從負(fù)變正時(shí)經(jīng)過的那個(gè)零點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)間的弧度數(shù) θ 滿足 | θ |≤π 時(shí)，稱此 θ 為初相位（主值范圍）。

8.正弦穩(wěn)態(tài)電路的實(shí)驗(yàn)原理

若滿足上述規(guī)定的正弦零值點(diǎn)在 t =0 以左，則初相 θ ＞0；若零值點(diǎn)在 t =0 以右，則初相 θ ＜0若有兩個(gè)同頻率的正弦電流i 1 （ t ）= I m1 sin（ ωt + θ 1 ） i 2 （ t ）= I m2 sin（ ωt + θ 2 ）。

9.電路分析基礎(chǔ)正弦穩(wěn)態(tài)分析

當(dāng)初相 θ 1 ＞ θ 2 時(shí)， i 1 稱為超前于 i 2 ；當(dāng) θ 1 = θ 2 時(shí)，稱 100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇i 1 和 i 2 同相；當(dāng) θ 1 - θ 2 =π 時(shí)，稱 i 1 和 i 2 反相圖 4-3 為這三種情況的示意圖。

10.正弦電路的穩(wěn)態(tài)分析

圖 4-3 正弦電流的相位比較任意兩個(gè)同頻率的正弦交流信號(hào)，例如上述 i 1 （ t ）、 i 2 （ t ），它們的相位差為（ ωt + θ 1 ）-（ ωt + θ 2 ）= θ 1 - θ 2即為它們的初相之差。

相位差用 φ 表示順便指出，有的書中使用余弦函數(shù)表示正弦電流或電壓，但本質(zhì)是一樣的，因?yàn)?/p>

所以不論使用正弦或余弦，僅有 π/2 的初相差別不過當(dāng)比較兩個(gè)正弦信號(hào)的相位差時(shí)，必須化為同種函數(shù)此外，正弦函數(shù)的初相角單位為弧度，但習(xí)慣上經(jīng)常寫為100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇度，這雖然不太嚴(yán)格，但在分析問題時(shí)較為方便、直觀例如

也可以寫為u （ t ）=10sin（314 t +45°）V正弦函數(shù)的微分和積分仍然是同頻率的正弦函數(shù)，而兩個(gè)同頻率的正弦函數(shù)的和或差，其結(jié)果也是同頻率的正弦函數(shù)例如則兩者之和i 1 =10sin（ ωt ）A i 2 =10sin（ ωt -60 ° ）A。

i 1 + i 2 =10[sin（ ωt ）+sin（ ωt -60°）]A由三角公式

所以i 1 + i 2 =10 3 sin（ ωt -30°）A這就是說，兩同頻率的正弦量之和頻率不變，僅改變了振幅和初相交流電的有效值（effective value）設(shè)有正弦電流為i （ t ）100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇= I m sin ωt。

它在電阻 R 上消耗的瞬時(shí)功率為

即

上式等號(hào)右邊第一項(xiàng)恒定，后一項(xiàng)的平均值為零。所以在電阻上消耗的平均功率為

而直流電流 I 在 R 上消耗的功率為 I 2 R 。令以上二者功率相等，則有

即有

有效值為

類似地，正弦電壓的有效值為

4.1.2 相量的概念1. 復(fù)數(shù)設(shè)一個(gè)復(fù)數(shù) A = a +j b， 其中 a、b 都是實(shí)數(shù)， a 為復(fù)數(shù)的實(shí)部， b 為復(fù)數(shù)的虛部，

為虛數(shù)單位（虛數(shù)單位在數(shù)學(xué)中用 i 表示，因電工學(xué)中用 i 表示電流，故改用 j 以示區(qū)別）取笛卡兒坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系），其橫軸稱為實(shí)軸，用來表示復(fù)數(shù)的實(shí)部；縱軸稱為虛軸，用來表示復(fù)數(shù)的虛部這兩個(gè)坐標(biāo)軸所在平面稱為復(fù)平面100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇。

復(fù)平面上的每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)，反之亦然例如，3+j4 對(duì)應(yīng)于圖 4-4 中復(fù)平面上的 P 1 點(diǎn)，-3+j4 對(duì)應(yīng)于 P 2 點(diǎn)

圖 4-4 復(fù)平面復(fù)數(shù)還可以用復(fù)平面上的一個(gè)矢量來表示如 A=3+j4 可以用一個(gè)從原點(diǎn) O 到 P 1 點(diǎn)的矢量來表示這種矢量稱為復(fù)數(shù)矢量任意一個(gè)復(fù)數(shù) A 可對(duì)應(yīng)一個(gè)復(fù)數(shù)矢量 OP， 如圖 4-5 所示。

矢量的長度定義為復(fù)數(shù) A 的絕對(duì)值，稱為復(fù)數(shù)的模即

圖 4-5 復(fù)平面中的矢量|A|= a 2 + b 2矢量與實(shí)軸正方向的夾角 θ 稱為復(fù)數(shù) A 的輻角。

因?yàn)?/p>

根據(jù)歐拉公式e jθ =cosθ+jsinθ式（4-6）又可以寫為復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則如下。設(shè)

A=100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇 a 1 +j b 1 =|A| θ 1 B = a 2 +j b 2 =|B| θ 2則 A± B =（ a 1 ± a 2 ）+j（ b 1 ± b 2 ）

此外，由于

得

由歐拉公式，又可得

這里，Re（·）和 Im（·）分別為取實(shí)部和取虛部的符號(hào)。式中， I m 為 I · m 的模，則

在電路中，通常將電流的振幅（或有效值）與其初相角構(gòu)成的復(fù)數(shù)稱為電流相量。例如i （ t ）=5sin（ ωt -30°）A它所對(duì)應(yīng)的相量為

但要注意，

，I· m 僅是i（t）的代表相量。類似地，若有電壓u （ t ）=10sin（ ωt +50°）V則其電壓相量為

若用有效值作為相量的模，則有效值相量為

2. 用相量100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇表示正弦量設(shè)有時(shí)間 t 的復(fù)值函數(shù)，利用數(shù)學(xué)中的歐拉公式

正弦量用相量表示后，還可以用相量圖來表示。設(shè)電流和電壓相量分別為（以有效值為模）可在復(fù)數(shù)平面上分別畫出它們的相量圖，如圖 4-6 所示。

圖 4-6 相量圖

4.2 儲(chǔ)能元件4.2.1 電容元件一個(gè)二端元件，如果在任一時(shí)刻 t， 它的電荷 q 與電壓 u 的關(guān)系可以唯一地用 u - q 平面上的一條曲線所表征，即有代數(shù)關(guān)系f （ u，q ）=0則此二端元件稱為電容元件。

1μF=10-6F 1pF=10-12F

圖 4-9 電容元件及其特性曲線若電容上電壓與電流方向一致，考慮到

故有

式（4-10）表明，在任一時(shí)刻，電容電流與其電壓的變化率成正比對(duì)于100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇直流電壓，由于 d u /d t =0，故 i （ t ）=0，即電容元件對(duì)直流相當(dāng)于開路若電容上電流 i （ t ）為已知，則在時(shí)刻 t， 由式（4-10），可得電容上積累的電壓為。

式（4-11）表明，某一時(shí)刻 t 電容上電壓的值與 t 時(shí)刻以前電流的全部歷史有關(guān)即使 t 時(shí)刻電流為零，但電容上電壓仍可能存在這說明電容有記憶作用，因而常稱電容為記憶元件上式中以積分變量 x 區(qū)別于積分上限 t 。

若電容上 u 與 i 方向不一致（非關(guān)聯(lián)），則有

再來看電容的儲(chǔ)能情況。電容的記憶特性是它具有儲(chǔ)存電場能量本領(lǐng)的反映。由于在 t 時(shí)刻電容的瞬時(shí)功率為

從而電容在 t 時(shí)刻的儲(chǔ)能為

通常總是假定 t =-∞100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇 時(shí)電容上電壓為零，從而

4.2.2 電感元件一個(gè)二端元件，如果在任一時(shí)刻 t， 其電流 i （ t ）和磁通 Φ （ t ）的關(guān)系可以唯一地用 i - Φ 平面上的一條曲線所表征，即有代數(shù)關(guān)系f （ i，Φ ）=0則此二端元件稱為電感元件。

1 mH=10-3H，1 μH=10-6H圖 4-11 所示為電感元件及其典型的特性曲線。如果電感元件的磁通為電流的線性函數(shù)，即

圖 4-11 電感元件及其特性曲線Φ （ t ）= Li （ t ）對(duì)線性電感，因 Φ （ t ）= Li （ t ），故在 u、i 方向一致時(shí)，有

若電感上電壓與電流方向?yàn)榉顷P(guān)聯(lián)參考方向，則關(guān)系如下

2. 電感的儲(chǔ)能電感的記憶特性是它100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇儲(chǔ)存磁場能量的反映。由于在 t 時(shí)刻電感的瞬時(shí)功率為

所以在任一時(shí)刻，電感的儲(chǔ)能為W L （ t ） = ∫ t -∞ p （ x ）d x設(shè) t =-∞ 時(shí) i （-∞）=0，則與電容的推導(dǎo)相類似，可得

即電感在任一時(shí)刻的儲(chǔ)能僅取決于該時(shí)刻的電流，而與 i （ t ）的歷史無關(guān)。如果要確定從 t 0 到 t 期間儲(chǔ)能的變化量，則

例 4-1 如圖 4-12（a）所示，將電感接于電壓源 u S （ t ）。 L =0.5H， i （0）=0，試求電感中的電流。

圖 4-12 例 4-1 圖解 電壓 u S （ t ）的表達(dá)式為

當(dāng) 0≤ t ≤0.5s 時(shí)

當(dāng) t ＞0.5s 時(shí)

歸納起來為

其波形如圖 4-100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇12（c）所示。4.3 電路的相量模型4.3.1 KCL 和 KVL 的相量表示設(shè)流入某節(jié)點(diǎn)的復(fù)指數(shù)同頻率電流為

必然有

即

兩邊同除以 e jωt ，得

或?qū)憺橐话闶?/p>

用類似的方法可以得到 KVL 的相量形式

4.3.2 基本元件的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及相量模型1. 電阻元件設(shè)電阻 R 上的電壓為 u = U m sin ωt， 則電流

其中電流振幅為I m = U m /R相應(yīng)地，電壓振幅為

而且 u 和 i 的相位變化是同相的，如圖 4-21 所示。

圖 4-21 電阻 R 中的電壓與電流若用相量表示 u 和 i， 有

則相量關(guān)系（VCR）為

若 u 和 i 的有效值用 U 和 I 表示，故數(shù)值關(guān)系為

于是又可用有效值100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇相量表示電阻上的 VCR，即

上式表明，在電阻 R 上，若輸入為

響應(yīng)

則二者滿足復(fù)數(shù)形式的歐姆定律。由于電壓和電流相位同相，上式的數(shù)值關(guān)系可寫為

這就是說，電阻 R 上的電壓有效值等于電阻與電流有效值的乘積當(dāng)然振幅關(guān)系滿足 U m = RI m ，而且電壓與電流同相2. 電感元件設(shè)電感 L 中有電流 i = I m sin ωt， 則其兩端的電壓為。

u=ωLI m sin（ωt+90°）=U m sin（ωt+90°）式中，電壓振幅為

由上可知，電感 L 中電流 i 和電壓 u 的相位差為 90°，即電壓超前電流 90°，如圖 4-22 所示。

圖 4-22 電感 L 中的電壓與電流由式（4-23）可得100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇令

這里 x L 稱為電感的感抗，其大小與頻率成正比。再考慮相量關(guān)系。設(shè)電流相量為

由于電感中電壓超前于電流 90°，故其相量可表示為

即有

或者用有效值相量表示為

由上式可得如圖 4-23（a）所示的電感的相量模型?？紤]到 j=e j90° ，

所以上式可表示為

圖 4-23 電感的相量模型及其相量圖

因此式（4-26）包含兩方面的內(nèi)容，即電壓、電流的大小關(guān)系和初相關(guān)系分別為

上述表明，電感上電壓與電流的大小之間也滿足歐姆定律，其中 ωL = X L 稱為電感的感抗，單位為 Ω；電壓的初相超前于電流的初相 90°這是電感元件在正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)所出現(xiàn)的固有現(xiàn)象3. 電容元件對(duì)于電容元件，當(dāng) u 和 i 方向一致時(shí)，有100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇。

設(shè)電壓u=Umsinωt，則電容上電流為

即式中可知電流超前于電壓 90°，如圖 4-24 所示。

圖 4-24 電容 C 中的電壓與電流由式（4-28）可得容抗為

若用有效值相量表示，由于電流超前電壓 90°，故有

或

由此可知電容上電壓與電流的大小關(guān)系和初相關(guān)系分別為

上式表明，電容元件上 U 與 I 也存在著歐姆定律關(guān)系，其中

稱為電容的容抗，單位為 Ω；而電容上電流超前于電壓 90°。圖 4-25（a）、（b）分別為電容元件的相量模型及相量圖。

圖 4-25 電容的相量模型及電流、電壓相量圖例 4-3 如圖 4-27（a）所示 RC 并聯(lián)電路，已知 R =1 kΩ， C =0.05μF，電源電壓 U100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇 =10 V， ω =10 4 rad/s試求總電流 I ·，并畫出各電流相量圖。

圖 4-27 例 4-3 圖解 先畫出相量模型電路如圖 4-27（b）所示。設(shè)電源電壓初相角為 0°，即有效值相量為

由圖 4-27（b）所示相量電路通過 R 的電流為

電容中的電流為

由 KCL，總電流的相量

從而得到

圖 4-28 相量法求解正弦交流電路的過程4.4 阻抗與導(dǎo)納4.4.1 阻抗在基本元件的相量模型中，其共同特點(diǎn)都是以端口上的電壓和電流相量來表示的，如 R、L、C 元件，有簡單的代數(shù)形式，即有電壓有效值相量和電流有效值相量關(guān)系：

對(duì)電阻 R：

對(duì)電感 L：

對(duì)電容 C：

以上可以用統(tǒng)一的相量形式表示為

式中， Z 100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇稱為元件的阻抗（impedance），一般為復(fù)數(shù)，單位為歐 [姆]（Ω）式（4-32）稱為歐姆定律的相量形式對(duì)單個(gè)理想元件來說，它們是R 的阻抗：Z R =RL 的阻抗：Z L =jωL=jX L。

C 的阻抗：

根據(jù)相量形式的歐姆定律，可以分別畫出三種元件對(duì)應(yīng)的電路相量模型，如圖 4-30 所示。

圖 4-30 R、L、C 元件的相量模型一般而言，設(shè)一不含獨(dú)立電源的二端網(wǎng)絡(luò) N，在正弦穩(wěn)態(tài)下，其端口電壓和電流分別用相量

表示，并設(shè)參考方向關(guān)聯(lián)，則該二端網(wǎng)絡(luò)的阻抗Z定義為

阻抗 Z 就是二端網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗，如圖 4-31 所示。

圖 4-31 阻抗定義示意圖

圖 4-32 阻抗的串聯(lián)

即

或者

它為該電路的總阻抗100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇。該阻抗又可寫為

Z=R+jX 稱為阻抗的一般形式。其中 R 為阻抗的電阻分量（resistive component），X= 為阻抗的電抗分量（reactive component）。

阻抗又可以表示為

式中

| Z | 稱為阻抗 Z 的模或絕對(duì)值， φ 稱為阻抗 Z 的阻抗角。反過來，又有R =| Z |cos φX =| Z |sin φ另一方面，由于

與式（4-35）相比較，有

例 4-4 如圖 4-32 所示電路，設(shè) R =10 Ω， L =1 H， C =0.005F， u S （ t ）=100 2 sin（20 t ）V，試求電流 i、u C 、 u R 和 u L 解 根據(jù)已知，首先求出100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇相量模型電路中的各量：

總阻抗Z=Z R +Z L +Z C =（10+j20-j10）Ω=（10+j10）Ω故電流

進(jìn)而得

最后有（注意將有效值變?yōu)檎穹?/p>

各電壓的相量關(guān)系如圖 4-33 所示。

4.4.2 導(dǎo)納阻抗的倒數(shù)定義為導(dǎo)納（admittance），用符號(hào) Y 表示，即

對(duì)于基本元件 R、L 和 C 而言，它們?cè)诮涣麟娐分兴鶎?duì)應(yīng)的導(dǎo)納分別為

對(duì)圖 4-34 所示的 RLC 并聯(lián)電路，由 KCL 得

圖 4-34 阻抗的并聯(lián)

由于

故

這里 Y 稱為電路的總導(dǎo)納，它等于并聯(lián)各元件導(dǎo)納之和， G 為電導(dǎo)，

稱為電納。導(dǎo)納的模與電流電壓的關(guān)系為

關(guān)于阻抗與導(dǎo)納有兩點(diǎn)必須強(qiáng)調(diào)說明：（1）若阻抗 Z = R +j X，100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇 導(dǎo)納 Y = G +j B， 但其中 R ≠1 /G，X ≠1 /B， 因?yàn)楫?dāng) Z = R +j X 已知時(shí)，有

所以

（2）阻抗 Z 和導(dǎo)納 Y 通常是頻率的函數(shù)。因?yàn)?X L 與頻率成正比， X C 與頻率成反比，所以在一般阻抗中，電感和電容對(duì)不同頻率的阻抗作用必然有所反映。例如，對(duì)于

當(dāng) X＜0，電路呈電容性；

當(dāng) X＞0，電路呈電感性；

當(dāng) =0，電路呈電阻性。

例 4-5 如圖 4-35 所示電路，試求其電流 I · 和總阻抗。

圖 4-35 例 4-5 圖解令

故電感支路電流為

電容支路電流為

總電流為

總阻抗為

4.5 相量分析的一般方法4.5.1 網(wǎng)孔分析法圖 4-40 為一正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型。100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇

圖 4-40 網(wǎng)孔分析示例由于非公共支路有一電流源

故只需列兩個(gè)網(wǎng)孔方程

化簡為

由于

故有

從而解得

電容上電流

4.5.2 節(jié)點(diǎn)分析法圖 4-41 是一個(gè) RC 振蕩器的電路模型若電路已產(chǎn)生穩(wěn)定的正弦振蕩，用節(jié)點(diǎn)法確定參數(shù) A 和振蕩角頻率 ω 圖中 R =1Ω， C =1F為用相量法分析，可先將各元件用阻抗代替，并設(shè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電壓為。

和

列出節(jié)點(diǎn)方程如下。

圖 4-41 節(jié)點(diǎn)分析示例

代入數(shù)據(jù)整理得

該線性齊次方程組存在非零解的充要條件為其系數(shù)行列式等于零，即

展開可得

上式的實(shí)部和虛部應(yīng)分別為零，即

解得

這就是說，當(dāng)電路中放大量 A =29 時(shí)，可產(chǎn)生

的正弦振蕩。若R、C任意，則

該結(jié)論在工程中非常有用4.5.3 戴100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇維南等效法在正弦穩(wěn)態(tài)下，網(wǎng)絡(luò)的各種定理都可以應(yīng)用，如疊加定理、替代定理、戴維南定理等這里重點(diǎn)介紹戴維南等效方法例 4-8 在測(cè)量技術(shù)中，交流電橋應(yīng)用非常廣泛圖 4-42（a）是交流電橋的原理電路。

mV 為毫伏表，其內(nèi)阻設(shè)為無窮大求交流電橋的平衡條件

圖 4-42 例 4-8 圖解 要使電橋平衡，必須滿足毫伏表兩端的電壓為零。利用戴維南定理，將毫伏表開路，則開路電壓為

若令

則毫伏表中無電流，故電橋平衡條件為Z 2 Z 3 - Z 1 Z 4 =0 或者 Z 2 Z 3 = Z 1 Z 4平衡條件是一個(gè)復(fù)數(shù)方程，它實(shí)際上包含兩個(gè)條件，即方程兩邊的實(shí)部和虛部分別相等實(shí)測(cè)中，通常是一個(gè)支路接被測(cè)元件，其余100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇三個(gè)支路接標(biāo)準(zhǔn)元件，需要仔細(xì)調(diào)節(jié)才能達(dá)到平衡。

圖 4-42（b）是測(cè)量電容 C X 及其漏電阻 R X 的電橋若設(shè) C X 和 R X 的組合為 Z X ， R 4 和 C 4 的組合為 Z 4 ，電橋平衡時(shí)，應(yīng)有R 2 Z X =R 1 Z 4即

具體為

解得

4.6 正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率4.6.1 平均功率1. 電阻 R 的平均功率在交流電路中，電流和電壓都是隨時(shí)間而變化的，所以功率也是隨時(shí)間變化的電阻 R 在任一瞬間吸收的功率稱為瞬時(shí)功率根據(jù)定義p = ui。

為了簡便，設(shè)電流的初相角 θ =0，則電阻上電流、電壓可寫為i = I m sinω t u = U m sinω t

它含有兩部分，第一部100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇分是常量，第二部分是兩倍于電壓頻率的周期量。圖 4-44 畫出了瞬時(shí)功率隨時(shí)間變化的曲線。由于 u 和 i 總是同方向的，故瞬時(shí)功率恒為正。它表明電阻總是吸收能量。

如果在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)瞬時(shí)功率取平均值，則稱為平均功率或有功功率，用大寫字母 P 表示，即

將式（4-43）代入上式，得

由于

U=RI，上式又可以寫為

2. 電感 L 的平均功率設(shè)電感中電流 i = I m sin ωt， 則電感上電壓應(yīng)超前電流 90°，即u = U m sin（ ωt +90°）所以電感元件上的瞬時(shí)功率

上式說明電感中的瞬時(shí)功率也是隨時(shí)間變化的正弦函數(shù)，其頻率為電源頻率的兩倍。它的平均功率

這就是說，純電感元件是不吸收有功功率100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇的。電感元件上瞬時(shí)功率的最大值稱為無功功率（reactive power），以 Q L 表示，

無功功率的單位為乏（var）無功功率用來衡量電源與電感元件間能量交換的最大速率3. 電容 C 的平均功率在正弦穩(wěn)態(tài)下，設(shè)電容上的電壓 u = U m sin ωt， 由于電容上的電流超前于電壓 90°，所以。

i = I m sin（ ωt +90°）在電容元件上的瞬時(shí)功率

該瞬時(shí)功率的變化與電感的情形一樣，它的平均功率

這說明電容元件也是不消耗電能的。電容元件上瞬時(shí)功率的最大值稱為電容的無功功率，以 Q C 表示。即單位為乏（var）

4.6.2 復(fù)功率設(shè)阻抗

其電壓、電流的相量分別為

則乘積

定義為阻抗 Z 的100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇復(fù)功率（complex power），用

表示，即

式中，

是

的共軛復(fù)數(shù)。上式的含義說明如下式中

P 稱為平均功率或有功功率（real power）， Q 稱為無功功率。由于

這就是說，負(fù)載吸收的平均功率就是阻抗 Z 的電阻分量吸收的功率。而

也就是說，負(fù)載吸收的無功功率恰是阻抗 Z 的電抗分量吸收的功率由上可知，平均功率的最大值為 UI 通常把這個(gè)最大值稱為視在功率（apparent power）或功率容量，即S = UI視在功率的單位為伏安（V·A）。

小結(jié)1. 電容元件和電感元件 u - i 關(guān)系分別為

所以電容對(duì)直流電壓相當(dāng)于開路；電感對(duì)直流電流相當(dāng)于短路。2. R、L、C 三元件的電壓與電流相量關(guān)系100個(gè)哄對(duì)象睡前故事長篇見表 4-1。表 4-1 R、L、C 元件的電壓與電流相量關(guān)系

3. 阻抗為

其中阻抗的模和相角分別為

導(dǎo)納為

4. 相量形式的歐姆定律、KCL 和 KVL 分別為

對(duì)于相量模型，分析電阻電路的各種方法，如分流、分壓、網(wǎng)孔法、節(jié)點(diǎn)法、電路定理等均可以應(yīng)用5. 在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電容和電感不消耗功率，阻抗 Z 消耗的功率（平均功率，有功功率）為電阻分量消耗的功率即P=UIcos（θ u -θ i ）

當(dāng)負(fù)載阻抗 Z L 與電源內(nèi)阻抗為共軛復(fù)數(shù)時(shí)（共軛匹配），負(fù)載可獲得最大功率，此時(shí)

式中， U S 為電源電壓的有效值； R L 為負(fù)載阻抗的電阻分量。