1.2021全國碩士研究生數(shù)學(xué)考試分析

本文轉(zhuǎn)載自：中國言實(shí) 新金講：2022年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)考試分析編者按：考試分析是幫助考生正確認(rèn)知考試、樹立正確應(yīng)考觀念、端正學(xué)習(xí)態(tài)度的有效文件,其主要內(nèi)容是通過對(duì)當(dāng)年考題進(jìn)行全面分析,作出科學(xué)評(píng)價(jià)中國民生銀行網(wǎng)上銀行,并對(duì)來年考試提出指導(dǎo)性意見,因此,2022版考試分析的分析內(nèi)容載體為2021年的考試命題。

2.全國碩士研究生考試數(shù)學(xué)考試分析 2020版

2021考研數(shù)學(xué)試題是教育考試中心調(diào)整數(shù)學(xué)試題命題結(jié)構(gòu)后的首套命題,也是教育部考試中心在多年嚴(yán)厲批評(píng)當(dāng)前數(shù)學(xué)應(yīng)試只流于膚淺套路形式的掌握,不求本質(zhì)理解的不良學(xué)習(xí)風(fēng)氣之后寄希望通過命題結(jié)構(gòu)的大幅調(diào)整來扭轉(zhuǎn)這股不良風(fēng)氣的首次命題嘗試.應(yīng)該來說,在2021考研數(shù)學(xué)的三套試題中,數(shù)學(xué)(一)的命題基本達(dá)成了這一訴求目標(biāo),但數(shù)學(xué)(二)與數(shù)學(xué)(三)的命題稍欠火候.幾乎完美的2021數(shù)學(xué)(一)命題應(yīng)該是未來數(shù)學(xué)各卷種命題的風(fēng)向標(biāo),由于數(shù)學(xué)(一)的考試內(nèi)容不僅包含數(shù)學(xué)(二)和中國民生銀行網(wǎng)上銀行數(shù)學(xué)(三)95%以上的考試內(nèi)容,而且在相同考點(diǎn)的命題上,數(shù)學(xué)(一)的難度均高于數(shù)學(xué)(二)和數(shù)學(xué)(三),因此,針對(duì)最高品質(zhì)的數(shù)學(xué)(一)試題做出考試分析,不僅對(duì)數(shù)學(xué)(一)科目的考生有意義,對(duì)數(shù)學(xué)(二)和數(shù)學(xué)(三)的考生應(yīng)試則具有更大的參考價(jià)值.

3.2021碩士研究生數(shù)學(xué)試卷

一、數(shù)學(xué)試題

4.2021碩士研究生考試數(shù)學(xué)試題

二、總體評(píng)價(jià)總體來說,2021考研數(shù)學(xué)的命題具有兩大突出的特點(diǎn):1.試題命題的創(chuàng)新程度創(chuàng)歷史新記錄,更注重知識(shí)內(nèi)涵理解的考查在2021考研的整個(gè)數(shù)學(xué)(一)試卷的22道試題中,常規(guī)試題只有8道半題(題號(hào)分別為1,3,11,12,13,14,15,16,21-1),分值總計(jì)為44分,占比中國民生銀行網(wǎng)上銀行不到30%,而2021之前的歷年試題中,這類試題一般占比約60%,即在總卷面分值約90分,即使是在全國平均分低到教育部考試中心都羞于拿出公開成績數(shù)據(jù)的2020年考研數(shù)學(xué)試題中,這類試題的占比也超過了50%(分值總計(jì)76分,占比50.6%,題號(hào)分別為1,2,3,5,7,8,9,10,12,13,15,16,19-1,23).在2021考研數(shù)學(xué)(一)其他70%以上的創(chuàng)新試題中,雖然試題命制比較新穎,但只要認(rèn)真學(xué)習(xí)過考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書中唯一注重考點(diǎn)本質(zhì)深入解析的《新考研數(shù)學(xué)超級(jí)金講》①復(fù)習(xí)全書(以下簡稱《新金講》),都很容易抓住考點(diǎn)本質(zhì),稍加分析,都不難找到解答思路,快速完成試題解答(試題對(duì)應(yīng)《新金講中國民生銀行網(wǎng)上銀行》的詳細(xì)解析見第四節(jié)“四、試題詳析”).這正如我在2020年10月份的考前免費(fèi)講座課程“如何胸有成竹、輕松愉悅地贏取考研成功”(

5.2021研究生數(shù)學(xué)題目

課程獲取方式：騰訊課堂搜索“如何胸有成竹、輕松愉悅地贏取考研成功!”)中下的結(jié)論:2021的考研數(shù)學(xué)成績必將是一個(gè)兩級(jí)分化更嚴(yán)重的年份,那些以掌握各種題型套路、瘋狂刷題為主要復(fù)習(xí)路徑的考生必將落入更低的分?jǐn)?shù)區(qū)間,而那些注重考點(diǎn)本質(zhì)理解的同學(xué),很容易就能贏得高分.可以預(yù)測,在當(dāng)前已被機(jī)構(gòu)利益引致而深陷歧途的主體學(xué)習(xí)氛圍沒有得到根本遏制之前,數(shù)學(xué)(一)的全國平均成績將會(huì)進(jìn)一步下滑,預(yù)測2021的數(shù)學(xué)(一)的全國平均成績應(yīng)該不會(huì)高于50分.那些通過中國民生銀行網(wǎng)上銀行各種以題型套路忽悠考生,考生依然甘之如飴的苦逼數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法,終將會(huì)在考場被狠狠地打臉.

6.全國碩士研究生數(shù)學(xué)一

2.命題考查內(nèi)容覆蓋全面,重點(diǎn)突出,且不遺漏低頻考點(diǎn)2021數(shù)學(xué)(一)卷面22道試題,通過試題命制的創(chuàng)新,幾乎覆蓋了高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)三門主干課程全部核心考點(diǎn)的考查,并且更難能可貴的是,在卷面總題量減少的情況下,2021數(shù)學(xué)(一)考題沒有遺漏任何一個(gè)被輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)標(biāo)簽為所謂冷門考點(diǎn)的考查,如高等數(shù)學(xué)中極少考查的歐拉方程求解(13題)、線性代數(shù)中極少考查的正定矩陣的開方計(jì)算(21題第2問)以及數(shù)理統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)的第二類錯(cuò)誤的概率計(jì)算(10題)等,這從側(cè)面也說明,大綱要求范圍中國民生銀行網(wǎng)上銀行內(nèi)的,每個(gè)考點(diǎn)都是需要掌握的,那些所謂的冷門考點(diǎn),更是不可忽視的,因?yàn)樗兴^的冷門考點(diǎn),其實(shí)都較其他所謂熱門的考點(diǎn)更容易掌握,這些考點(diǎn)大量丟分的根本原因不是因?yàn)槠湔莆盏碾y度,而是很多人因?yàn)樗碱l次數(shù)低而投機(jī)性的忽視了它,只要得到基本的重視,很容易知曉其概念內(nèi)涵、掌握其運(yùn)算規(guī)則,輕松地獲得高分.

7.研究生數(shù)學(xué)考試真題2020

三、課程考查內(nèi)容評(píng)價(jià)及命題分析1.高等數(shù)學(xué)(1)函數(shù)、極限與連續(xù)

8.2021年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)考試大綱

函數(shù)、極限與連續(xù)考查的唯一本質(zhì)重點(diǎn)是極限的運(yùn)算,極限的運(yùn)算又分為數(shù)列的極限運(yùn)算和函數(shù)的極限運(yùn)算,最重要的數(shù)列極限計(jì)算方法必然是定積分定義法,因?yàn)檫@關(guān)系到高等數(shù)學(xué)最中國民生銀行網(wǎng)上銀行重要的積分概念的理解.試卷的第4題逆?zhèn)鹘y(tǒng)命題反向考查了定積分定義在數(shù)列和極限計(jì)算中的應(yīng)用(傳統(tǒng)命題一般是給出數(shù)列和的極限求解其定積分形式)、第17題極限的計(jì)算問題區(qū)別于傳統(tǒng)極限計(jì)算命題一般只側(cè)重于部分關(guān)鍵考點(diǎn)的考查,首次幾乎綜合了極限計(jì)算中全部關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)本質(zhì)理解的應(yīng)用(無窮小替換、泰勒公式、洛必達(dá)法則、極限的四則運(yùn)算法則、變限積分極限的處理方式以及極限計(jì)算過程中的靈活化簡等),這兩道題幾乎綜合了第一章全部關(guān)鍵內(nèi)容的理解,如果只是機(jī)械地掌握極限計(jì)算的一些套路,而不是基于對(duì)每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的本質(zhì)理解,在計(jì)算轉(zhuǎn)換過程中,這兩道題都可能沒辦法順利得到正確答案,而且這兩道題所包含的問題解決能力完全能覆蓋到第中國民生銀行網(wǎng)上銀行一章其他沒有呈現(xiàn)在這兩道試題里考點(diǎn)問題的解決能力,這兩道試題的命制堪稱本章命題的典范.

9.全國碩士研究生數(shù)學(xué)考試大綱

(2)一元函數(shù)微積分學(xué)

10.2021年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)

由于多元函數(shù)微積分學(xué)包含了一元函數(shù)微積分學(xué)的絕大部分內(nèi)容,因此,一元函數(shù)微積分學(xué)在絕大多數(shù)情況下都不構(gòu)成數(shù)學(xué)(一)命題的重點(diǎn),這一部分命題的重點(diǎn)一般是針對(duì)一元與多元有差異的重點(diǎn)部分進(jìn)行命題.試卷的第1題考查了一元分段函數(shù)臨界點(diǎn)的取值狀況判斷,第11題考查了簡單有理函數(shù)的廣義積分計(jì)算、第12題考查了參數(shù)變量函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)值的計(jì)算,這三道試題所對(duì)應(yīng)的考點(diǎn)正是這一結(jié)論的反映.由于一元微積分學(xué)不是數(shù)學(xué)(一)的命題重點(diǎn),因此這中國民生銀行網(wǎng)上銀行一部分的命題一般都比較常規(guī).

(3)多元函數(shù)微積分學(xué)

多元函數(shù)微積分學(xué)是數(shù)學(xué)(一)命題的重點(diǎn),包含兩個(gè)方面的內(nèi)容:微分概念的理解、計(jì)算及應(yīng)用,積分概念的理解與計(jì)算.試卷的第2題通過創(chuàng)新二元復(fù)合函數(shù)的構(gòu)造來考查考生對(duì)多元函數(shù)微分概念的深度理解和計(jì)算,本道試題有效解答的能力可以覆蓋到其他任意多元函數(shù)微分的計(jì)算能力,是一道考點(diǎn)到能力覆蓋面非常廣的優(yōu)秀命題;第14題雖然是一道常規(guī)的對(duì)坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算問題,但也綜合考查到了多元函數(shù)積分計(jì)算的絕大部分關(guān)鍵內(nèi)容(空間解析幾何、高斯公式的應(yīng)用、三重積分的對(duì)稱性定理應(yīng)用和截面計(jì)算法);第19題堪稱本套試卷命題最大的亮點(diǎn),表面上是考查多元函數(shù)的最值問題,其實(shí)質(zhì)考查的中國民生銀行網(wǎng)上銀行是空間曲線函數(shù)表達(dá)式的深度理解(見《新考研數(shù)學(xué)超級(jí)金講—高等數(shù)學(xué)》272頁對(duì)空間曲線的解析),雖然兩種思路都能得出正確答案,但前者的計(jì)算量至少是后者的3倍以上,這道題對(duì)不同學(xué)習(xí)能力的考生具有超高的區(qū)分度,這道題除了本人第一時(shí)間給出后一種解析思路之外,市面上其他所有考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)對(duì)這道題的解析都采用了最膚淺的多元函數(shù)最值的解析方式,這也反映當(dāng)前考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)對(duì)教研內(nèi)容研究深度的欠缺(具體解析見“四、試題詳析”);第20題第1問通過一個(gè)抽象積分區(qū)間的引入創(chuàng)新性考查了考生對(duì)二重積分幾何意義的深度理解和對(duì)考點(diǎn)信息綜合分析判斷能力,第2問通過被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜化來考查考生透過復(fù)雜表象把握本質(zhì)的審題能力,但如中國民生銀行網(wǎng)上銀行果解決了第1問的抽象積分區(qū)間問題,并且扎實(shí)地掌握了格林公式的應(yīng)用,第2問本質(zhì)是一道常規(guī)挖洞法的對(duì)坐標(biāo)曲線積分計(jì)算問題(2020、2021連續(xù)兩年考查了這一知識(shí)點(diǎn),這一事實(shí)也證明了一些機(jī)構(gòu)老師聲稱“上年考過的不會(huì)再考”的觀點(diǎn)是極度不負(fù)責(zé)任的).多元函數(shù)微積分學(xué)全卷考查的4道試題,完全覆蓋了多元函數(shù)微積分學(xué)的概念深度理解、基本計(jì)算方法的掌握以及綜合分析能力,考點(diǎn)覆蓋全面,重點(diǎn)突出,注重能力考查.

(4)無窮級(jí)數(shù)

在《新金講》中有總結(jié),無窮級(jí)數(shù)本質(zhì)只有兩個(gè)方面的內(nèi)容:級(jí)數(shù)的斂散性定性判斷和求和的定量計(jì)算.本部分卷面考查了2道試題,選擇題的第3題一改本章選擇題以級(jí)數(shù)斂散性或冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間判斷為主的傳統(tǒng)考查中國民生銀行網(wǎng)上銀行方式,考查了函數(shù)的麥克勞林展開式的簡單應(yīng)用,多少會(huì)讓一些日常慣于刷題而疏于知識(shí)掌握的同學(xué)有些措手不及;第18題的解答題考查的雖然是常規(guī)級(jí)數(shù)的求和問題,但在具體求和級(jí)數(shù)的構(gòu)建上有了顯著的創(chuàng)新,具體級(jí)數(shù)是由兩個(gè)不同性質(zhì)的級(jí)數(shù)和構(gòu)成(由一個(gè)等比函數(shù)級(jí)數(shù)與一個(gè)冪級(jí)數(shù)之和構(gòu)成),這區(qū)別于傳統(tǒng)命題一般只限于單一冪級(jí)數(shù)求和的考查,這一創(chuàng)新命題對(duì)于日常慣于刷題而疏于知識(shí)掌握的同學(xué)可能會(huì)因?yàn)轭}目形式的新穎而無從下手,但對(duì)于求和本質(zhì)有基本理解的同學(xué)而言,是一道非常簡單的解答題.本章通過回避部分熱門常規(guī)考點(diǎn)來側(cè)面實(shí)現(xiàn)對(duì)考生知識(shí)點(diǎn)掌握全面性的考查,是一種非常好的命題策略.

(5)微分方程

微分方程的內(nèi)容性質(zhì)決定了這一部分中國民生銀行網(wǎng)上銀行內(nèi)容無法作為重點(diǎn)考查內(nèi)容,傳統(tǒng)對(duì)本章的考查一般淺嘗輒止地停留在直接套公式的微分方程求解或方程解的結(jié)論判斷中,很少考查較高級(jí)的應(yīng)用考點(diǎn),2021的數(shù)學(xué)(一)一改傳統(tǒng)命題風(fēng)格,考查了微分方程中考頻最低且解法要求較高的二階歐拉方程的求解,二階歐拉方程的有效求解的知識(shí)掌握程度覆蓋了二階以下其他微分方程的求解需要,這一試題的考查顯然體現(xiàn)了命題中心在強(qiáng)化考點(diǎn)覆蓋面的用心.本題對(duì)于知識(shí)點(diǎn)掌握全面的同學(xué)來說,直接套用歐拉方程的計(jì)算步驟,很容易得出答案,但對(duì)于日常慣于刷題而疏于知識(shí)掌握的同學(xué)來說,由于這一考點(diǎn)命題過于低頻,一般很難出現(xiàn)在日常的訓(xùn)練題中,因此,這道低頻簡單的二階歐拉方程可能也會(huì)讓部分人不知所措.

2中國民生銀行網(wǎng)上銀行.線性代數(shù)(1)行列式由于行列式的內(nèi)容包含于線性代數(shù)其他各章節(jié)中,2021年沒有單獨(dú)直接命題進(jìn)行考查,而間接融合于其他章節(jié)的試題中進(jìn)行了考查(如21題第1問求正交矩陣,其中就包含了行列式計(jì)算的考查).

矩陣這一章內(nèi)容的核心包含兩個(gè)方面內(nèi)容:一是對(duì)矩陣秩性質(zhì)的理解和運(yùn)用;二是矩陣伴隨矩陣相關(guān)計(jì)算的熟練掌握.試卷的第7題通過分塊矩陣的構(gòu)建深度地考查了矩陣秩的性質(zhì)應(yīng)用,這一道試題的有效判斷所需要具備的分析能力幾乎可以涵蓋所有關(guān)于矩陣秩的應(yīng)用分析,是一道難度較大的試題.試卷的第15題考查了伴隨矩陣和矩陣的換算關(guān)系,雖然屬于一道常規(guī)試題,但包含了矩陣與伴隨矩陣換算的核心考點(diǎn).兩道題全面的考查到本章的核心內(nèi)中國民生銀行網(wǎng)上銀行容.

(3)向量組、線性方程組

向量組的核心內(nèi)容本質(zhì)上與線性方程組的問題等價(jià),而線性方程組的問題又可以融合到矩陣的特征值、特征向量的內(nèi)容中,所以2021考題沒有直接命制這方面的試題,向量只命制了一道邊緣性考點(diǎn)的試題(第6題),考查向量的正交方法,試題創(chuàng)新性逆向命題(給出正交結(jié)論,反向求參數(shù)值),依然具有較大的新意,這道題對(duì)于側(cè)重知識(shí)掌握的同學(xué)來說,幾乎是送分題,但對(duì)于日常慣于刷題而疏于知識(shí)掌握的同學(xué),很可能由于結(jié)構(gòu)的少見而無從下手.

(4)矩陣的特征值和特征向量、二次型

矩陣的特征值和特征向量、二次型相當(dāng)于線性代數(shù)內(nèi)容的集大成者,綜合了行列式、矩陣以及線性方程組的核心考點(diǎn),是歷年考試的重點(diǎn).卷面第5題中國民生銀行網(wǎng)上銀行通過二次型結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新精密設(shè)計(jì),構(gòu)造出一個(gè)不同常規(guī)的二次型,全面深入地考查到了二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的方法及重要的正負(fù)慣性指數(shù)概念,本題對(duì)于日常慣于刷題而疏于知識(shí)掌握的同學(xué)來說,很容易由其結(jié)構(gòu)的表面形式而不假思索地直接選擇錯(cuò)誤的答案,是一道區(qū)分度極高的二次型優(yōu)質(zhì)試題.卷面第21題考查了實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化以及對(duì)角化的開方應(yīng)用,本題有兩點(diǎn)創(chuàng)新:首先,它不同于需要求出矩陣中未知參數(shù)的傳統(tǒng)命題形式,在實(shí)對(duì)稱矩陣中引入了一個(gè)無需求解的未知參數(shù),引入的未知參數(shù)更多是充當(dāng)一種對(duì)考生解答思路的信息干擾功能,用以增加試題的區(qū)分度,只有那些對(duì)考點(diǎn)理解扎實(shí)的同學(xué)才會(huì)迅速看穿其本質(zhì),不會(huì)在這一未知量上糾結(jié),這與202中國民生銀行網(wǎng)上銀行0年數(shù)學(xué)(一)的第18題在被積函數(shù)中引入一個(gè)并不妨礙積分計(jì)算的抽象復(fù)合函數(shù)的本質(zhì)是一致的;其次,相似對(duì)角化應(yīng)用傳統(tǒng)命題更常見的考查方式是求其乘方,2021試題則進(jìn)行了反向命題,求解矩陣的開方,只有對(duì)考點(diǎn)本質(zhì)真正掌握的同學(xué)才能進(jìn)行這種靈活的變通.兩道題全面考查到了特征值和特征向量、二次型的全部核心內(nèi)容.

3.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(1)隨機(jī)事件和概率

隨機(jī)事件和概率是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念,由于概率計(jì)算貫穿于全部概率論中,所以本章真正的獨(dú)立考點(diǎn)其實(shí)只有一個(gè):隨機(jī)事件的概率換算關(guān)系(2020、2021連續(xù)考查了這一考點(diǎn)).試卷的第8題正是對(duì)這一獨(dú)立考點(diǎn)全面綜合的考查,四個(gè)選項(xiàng)的命題判斷需要的分析能力完全中國民生銀行網(wǎng)上銀行能全面考查出考生對(duì)這一考點(diǎn)掌握的程度以及所具備的綜合分析能力,把對(duì)這一考點(diǎn)的命題水平推上了一個(gè)新高度.

(2)隨機(jī)變量及其分布(一維隨機(jī)變量及其分布和二維隨機(jī)變量及其分布)

隨機(jī)變量及其分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論的核心理論,是用數(shù)學(xué)分析隨機(jī)事件的理論基礎(chǔ),應(yīng)該也是2021數(shù)學(xué)考試大綱調(diào)整之后本門課程唯一命制解答題的考點(diǎn),試卷的第22題即是對(duì)這一內(nèi)容的考查.試卷第22題創(chuàng)新性地構(gòu)造了一個(gè)動(dòng)態(tài)二維隨機(jī)事件模型,不僅將一元隨機(jī)分布與二元隨機(jī)分布有機(jī)的結(jié)合在一起進(jìn)行全面考查,更極好地考查了考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力,區(qū)別于傳統(tǒng)對(duì)隨機(jī)變量靜態(tài)的考查,是一道不可多得的高水平命題.

(3)隨機(jī)變量的中國民生銀行網(wǎng)上銀行數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征雖然是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要內(nèi)容,但由于其核心在于各種隨機(jī)變量的數(shù)字特征的計(jì)算,內(nèi)容的掌握易于套路化,所以一般都只依附于其他章節(jié)的命題中進(jìn)行考查.試卷的第9題、第16題間接地考查了這一內(nèi)容,第22題的第3問直接地考查了這一內(nèi)容.

(4)大數(shù)定律和中心極限定理大數(shù)定律和中心極限定理屬于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最簡單、內(nèi)容最少的內(nèi)容,偶爾會(huì)象征性地考查一次,2021試題中沒有對(duì)其進(jìn)行命題.(5)數(shù)理統(tǒng)計(jì)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)包含三個(gè)方面的內(nèi)容:樣本統(tǒng)計(jì)量、參數(shù)估計(jì)以及假設(shè)檢驗(yàn).試卷的第9題不僅考查了樣本統(tǒng)計(jì)量的理解、參數(shù)估計(jì)的無偏性判斷,更全面考查到了方差、協(xié)方差的運(yùn)算關(guān)系.第10題考查了考頻中國民生銀行網(wǎng)上銀行極低的假設(shè)檢驗(yàn)第二類錯(cuò)誤概率的計(jì)算,這可能是研究生招生考試自統(tǒng)考以來首次對(duì)這一考點(diǎn)的命題,再次凸顯了命題中心在強(qiáng)化考點(diǎn)覆蓋面的用心.

四、試題詳析1.選擇題(本題共10小題,每小題5分,共50分).

【答案】應(yīng)選D.【分析】本題是一道常規(guī)分段函數(shù)臨界點(diǎn)可導(dǎo)性的判斷問題,分段函數(shù)臨界點(diǎn)的可導(dǎo)性判斷是一元微分學(xué)的重點(diǎn),但并不是難點(diǎn),其判斷只有唯一方法,就是利用臨界點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行判斷.《新金講》(《新金講》一共三個(gè)分冊,對(duì)應(yīng)于數(shù)學(xué)的三個(gè)科目,以下統(tǒng)一簡稱《新金講》,題目對(duì)應(yīng)的頁碼為對(duì)應(yīng)分冊的頁碼)在第二章中的重難點(diǎn)專題中有重點(diǎn)解析,本題與書中例2.27本質(zhì)是一致的.

非直線,因而沒有折點(diǎn),必然是一條光滑中國民生銀行網(wǎng)上銀行曲線,如果在x =0處取極值,則必有f(0)=0,如果這一結(jié)果成立,則本題有至少有兩個(gè)答案,這顯然這不合題意,由排除法可迅速得出答案為D(這一分析思路看起來像是所謂的技巧,實(shí)質(zhì)是采用了數(shù)學(xué)的定性思維法,定性思維是在對(duì)考點(diǎn)有本質(zhì)理解基礎(chǔ)上升華的一種判斷思維,在很大程度上是比數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用到的定量計(jì)算更重要的一種思維方式,但遺憾的是,在國內(nèi)版的所有數(shù)學(xué)教材中,只有《新金講》在努力嘗試對(duì)這種思維進(jìn)行解析和培養(yǎng).實(shí)際上,最有效的應(yīng)試技巧其實(shí)就是對(duì)事物本質(zhì)的把握

),本題也可以通過定量計(jì)算來證明D的結(jié)論.

所以函數(shù)f(x) 在x =0可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為0,故選D.

【答案】應(yīng)選C.【分析】本題是一道非常有效考查考中國民生銀行網(wǎng)上銀行生對(duì)全微分概念理解以及多個(gè)中間變量的單一自變量的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則掌握情況的試題,在《新金講》第七章的“重難點(diǎn)專題金講”中有明確的總結(jié),其思路本質(zhì)上等同于《新金講》中例7.60.

【答案】應(yīng)選A.【分析】本題考查的是常規(guī)函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(由于是在x =0處的展開,因此也等價(jià)于函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)展開),直接套用《新金講》總結(jié)的公式即可,由于展開式的最高次為3次,為了避免遺漏展開項(xiàng),所涉及到的函數(shù)宜展開到至少3次.

【詳解】由麥克勞林公式可得

【答案】應(yīng)選B.【分析】本題逆向考查了數(shù)列和極限的定積分計(jì)算方法,如果對(duì)這一重要考點(diǎn)有踏實(shí)的理解,無論是從數(shù)列和到定積分的正向計(jì)算,還是定積分到數(shù)列和的逆向變通其中國民生銀行網(wǎng)上銀行實(shí)都不難解決,《新金講》在極限的特殊計(jì)算法方法中對(duì)此考點(diǎn)有細(xì)致的解析,相信如果認(rèn)真學(xué)習(xí)過這部分的同學(xué),本題應(yīng)該可以得以輕松解答.

【詳解】由于函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1] 上連續(xù),對(duì)于選項(xiàng)(A),有

【答案】應(yīng)選B.【分析】本題考查二次型標(biāo)準(zhǔn)型的理解.雖然給出的二次型是完全平方結(jié)構(gòu),但顯然不能直接得出該二次型已經(jīng)是標(biāo)準(zhǔn)型的結(jié)論,否則這道題命制就毫無意義.對(duì)于這類完全平方結(jié)構(gòu)的二次型,要得到其準(zhǔn)確的標(biāo)準(zhǔn)型,必須先將平方展開,然后通過配方法或正交變換法化為標(biāo)準(zhǔn)型,即可直接得到其正負(fù)慣性指數(shù)值.本類試題與《新金講》的例6.18本質(zhì)是同一試題,《新金講》還對(duì)這類題的易錯(cuò)解法做了詳細(xì)解析,如果認(rèn)真學(xué)習(xí)過,本中國民生銀行網(wǎng)上銀行題必可輕松解答.由于配方法計(jì)算量小很多,所以這里采用配方法化為標(biāo)準(zhǔn)型(

本題的配方法需要深入理解配方法的本質(zhì),否則會(huì)配出一個(gè)四不像的平方結(jié)構(gòu),無法得到準(zhǔn)確的標(biāo)準(zhǔn)型,也許正因?yàn)槿绱?各機(jī)構(gòu)老師對(duì)本題的解析清一色地采用了最復(fù)雜的正交變換法,相信是缺乏對(duì)配方法本質(zhì)的掌握).

【答案】應(yīng)選A.【分析】本題逆向考查向量組施密特正交變換法的掌握情況.如果能熟練記住了施密特正交變換法的公式規(guī)律,很容易判斷出所需要計(jì)算的參數(shù)l1 ,l2 對(duì)應(yīng)于施密特正交變換中的向量系數(shù),《新金講》對(duì)施密特正交公式的運(yùn)算規(guī)律有獨(dú)有的總結(jié),直接套其公式即可計(jì)算.

【詳解】由施密特正交法可知

【答案】應(yīng)選C.【分析】本題深度考查了分塊矩陣中國民生銀行網(wǎng)上銀行秩的判斷,這類題一直是線性代數(shù)科目的難點(diǎn),正鑒如此,《新金講》給予了極大篇幅講解了矩陣秩的性質(zhì)和應(yīng)用,尤其是滿秩矩陣的應(yīng)用,本題與《新金講》例2.41的判斷思路一致.

【詳解】易知選項(xiàng)(A)是成立的;

【答案】應(yīng)選D.【分析】本題考查隨機(jī)事件關(guān)系的變換,比傳統(tǒng)考查的情況要復(fù)雜不少,但只要把握《新金講》中一再強(qiáng)調(diào)的由繁向簡、補(bǔ)集化本集的轉(zhuǎn)化思路,本題也僅僅是計(jì)算量大一點(diǎn)而已,本題與《新金講》中例1.12思路大體是一致的.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)(A),

【答案】應(yīng)選C.【分析】本題一改傳統(tǒng)命題中總體是一維隨機(jī)變量的情況,采用二維隨機(jī)總體命題,考查考生對(duì)總體概念的深入理解,無論是一維還是二維總體,理解了《新金講中國民生銀行網(wǎng)上銀行》中對(duì)總體與樣本概念的詳細(xì)解析,本題剩下的就是簡單隨機(jī)變量數(shù)字特征換算關(guān)系的計(jì)算.

【答案】應(yīng)選B.【分析】本題考查了罕見命題的假設(shè)檢驗(yàn)中第二類錯(cuò)誤概念的理解,對(duì)概念深刻全面的剖析是《新金講》獨(dú)有優(yōu)勢,第二類錯(cuò)誤是指當(dāng)原假設(shè)命題實(shí)際并不是真命題時(shí),但樣本觀察值使得我們接受它為正確的概率.由于總體的實(shí)際值在檢驗(yàn)前是不知道的(否則就不用去檢驗(yàn)了),因此,第二類錯(cuò)誤的概率實(shí)質(zhì)是計(jì)算通過樣本接納原命題的概率,至于接納它之后是否犯第二類錯(cuò)誤,這個(gè)只有后來知道假設(shè)的真實(shí)結(jié)論才能判斷,正如本題中,給出了μ =11.5,所以接納原命題H0 就犯了第二類錯(cuò)誤.理解了這一點(diǎn),本題就容易計(jì)算了.

【分析】本題考查了簡單中國民生銀行網(wǎng)上銀行有理函數(shù)廣義積分的計(jì)算,這是積分計(jì)算的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容,在《新金講》中單列了專題講解.容易看出,被積函數(shù)的分母容易配成平方結(jié)構(gòu),符合書中第一種情況,配方之后直接套用積分公式即可得到答案.

【分析】本題考查參數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算,參數(shù)函數(shù)求導(dǎo)計(jì)算的關(guān)鍵是掌握參數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)本質(zhì),這在《新金講》中有特別的解釋,如果知曉這一本質(zhì),這類問題都會(huì)很簡單.

【分析】本題考查了考頻極低的歐拉方程,如果掌握了《新金講》中對(duì)歐拉方程求解過程的詳細(xì)解析,直接套用其對(duì)應(yīng)的求解步驟,不難得出答案.

【答案】應(yīng)填4π.【分析】題設(shè)對(duì)坐標(biāo)曲面積分的積分區(qū)間為一個(gè)封閉的柱體,顯然要用高斯公式計(jì)算,又積分區(qū)間關(guān)于坐標(biāo)面有顯著的對(duì)稱性中國民生銀行網(wǎng)上銀行,應(yīng)用高斯公式之后的三重積分必然要用奇偶對(duì)稱性簡化計(jì)算,這是《新金講》中反復(fù)強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)思路,本題與書中例8.56計(jì)算本質(zhì)一致.

【分析】本題考查伴隨矩陣與矩陣之間的運(yùn)算關(guān)系,是矩陣的重要考點(diǎn)之一,《新金講》對(duì)此考點(diǎn)有全面細(xì)致的解析,本題與書中例2.3幾乎是同一道題.

(16)甲乙兩個(gè)盒子中各裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球,先從甲盒中任取一球,觀察顏色后放入乙盒中,再從乙盒中任取一球,令X,Y 分別表示從甲盒和乙盒中取到的紅球個(gè)數(shù),則X 與Y 的相關(guān)系數(shù)為.【答案】應(yīng)填0.2.

【分析】本題雖然是考查相關(guān)系數(shù)的計(jì)算,但只有求得其分布了才能計(jì)算相關(guān)系數(shù),所以本題實(shí)質(zhì)考查二維離散隨機(jī)變量的分布,求離散隨機(jī)變量的分中國民生銀行網(wǎng)上銀行布關(guān)鍵是寫出隨機(jī)變量所有可能取值,然后再根據(jù)數(shù)值所表達(dá)的事件內(nèi)容來求得其分布,這是《新金講》中強(qiáng)調(diào)的重要求解思想.

【詳解】由題意易知,X 與Y 可能取值均為0和1,其聯(lián)合概率分布與邊緣概率分布如下表所示:

3.解答題(17~22小題,共70分)

【分析】本題考查了極限計(jì)算的無窮小替換、洛必達(dá)法則、極限的四則運(yùn)算法則以及極限的靈活化簡能力,是一道綜合性較強(qiáng)的計(jì)算題,其中計(jì)算的關(guān)鍵是極限的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用,在《新金講》中有強(qiáng)調(diào),當(dāng)極限存在時(shí),極限的運(yùn)算可以拆解成不同極限存在項(xiàng)的極限進(jìn)行計(jì)算.

【分析】本題堪稱本套試卷命題中最大的亮點(diǎn),本題表面上是考查多元函數(shù)的最值問題,其實(shí)質(zhì)考查的是空間曲線的函數(shù)表達(dá)中國民生銀行網(wǎng)上銀行式的深度理解,這在《新金講》272頁對(duì)空間曲線的解析中有說明,雖然兩種思路都能得出正確答案,但前者的計(jì)算量至少是后者的3倍,這道題對(duì)不同學(xué)習(xí)能力的考生具有超高的區(qū)分度,這道題除了本人第一時(shí)間給出其最本質(zhì)的解析方法外,市面上其他所有考研機(jī)構(gòu)老師對(duì)這道題的解析都采用了最膚淺的多元函數(shù)最值的解析方式,這也反映當(dāng)前考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)對(duì)內(nèi)容研究深度的欠缺.當(dāng)前考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)流量老師幾乎都背離了教育所應(yīng)該有的嚴(yán)肅本質(zhì),一個(gè)個(gè)化身為單口相聲演員與雞湯大師,浮于形、淺于質(zhì),正在把中國教育推向遠(yuǎn)離探尋科學(xué)真理的教育本質(zhì).

【分析】本題第1問通過一個(gè)抽象積分區(qū)間的引入創(chuàng)新性考查了二重積分幾何意義的深度理解和考點(diǎn)信息綜合分析中國民生銀行網(wǎng)上銀行判斷能力.第2問則通過被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜化來增加審題壓力,但如果解決了第1問的抽象積分區(qū)間問題,第2問本質(zhì)是一道常規(guī)挖洞法的對(duì)坐標(biāo)曲線積分計(jì)算問題.由于二重積分的幾何意義是以積分區(qū)間為底面積,被積函數(shù)為高的曲頂柱體的體積,要使積分值最大,則積分區(qū)間面積要足夠大,同時(shí),在積分區(qū)間范圍內(nèi),曲頂柱體的高不能為負(fù)值,否則,高取負(fù)值的曲頂體積就減少了總的體積值,要保證滿足這一規(guī)則,實(shí)質(zhì)積分區(qū)間范圍最大的取值就由被積函數(shù)大于0的區(qū)間決定.《新金講》第308頁的例8.3很好的詮釋了這一含義.明確了積分區(qū)間,第1問的積分值就容易算出;第二問的對(duì)坐標(biāo)曲線積分中,分母是由平方和結(jié)構(gòu),這是使用挖洞格林公式計(jì)算的顯著中國民生銀行網(wǎng)上銀行特征,用挖洞格林公式計(jì)算,這在《新金講》中有明確的總結(jié).

【分析】第1問考查實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化,先求得矩陣的特征值,然后求得特征向量,最后對(duì)特征向量進(jìn)行單位正交標(biāo)準(zhǔn)化,就得到第1問的解,第1問屬于常規(guī)試題,思路在任何一本考研數(shù)學(xué)參考書都可以找到;第2問實(shí)際是求對(duì)矩陣 (a+3) E-A 的開方計(jì)算,計(jì)算矩陣的高次冪或矩陣的開方,在《新金講》的170頁關(guān)于矩陣化為相似對(duì)角形的應(yīng)用方法總結(jié)的第4條中有詳細(xì)說明,并且書中例6.29的第2問與本題本質(zhì)一致,均考查了正定矩陣的開方計(jì)算.

【分析】本題較深入地考查到了一維隨機(jī)變量均勻分布的理解和動(dòng)態(tài)事件概率的計(jì)算,創(chuàng)新性地構(gòu)造了一個(gè)動(dòng)態(tài)二維隨機(jī)事件模型中國民生銀行網(wǎng)上銀行,不僅將一元隨機(jī)分布與二元隨機(jī)分布有機(jī)的結(jié)合在一起進(jìn)行全面考查,更極好地考查了考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力,區(qū)別于傳統(tǒng)對(duì)隨機(jī)變量靜態(tài)的考查,是一道不可多得的高水平命題.本題的難點(diǎn)和關(guān)鍵在求得第一問的均勻分布,后面兩問都是建立在第一問答案基礎(chǔ)上的常規(guī)計(jì)算.關(guān)于均勻分布,《新金講》做出了突出重點(diǎn)的全面解析,相信認(rèn)真學(xué)習(xí)過,必然能求得第一問的關(guān)鍵解答.

五、結(jié)論與建議(1)2021年的數(shù)學(xué)(一)命題把考研數(shù)學(xué)命題的整體水平推上了一個(gè)新高度,應(yīng)該也是未來數(shù)學(xué)命題的風(fēng)向標(biāo),命題既兼顧了全面考查,又做到了重點(diǎn)突出,既大幅創(chuàng)新了試題設(shè)計(jì),擺脫了市面流行復(fù)習(xí)資料的套路誤導(dǎo),又沒有偏題、怪題和技巧性很強(qiáng)中國民生銀行網(wǎng)上銀行的題目,在注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)掌握考查的同時(shí),也注重綜合能力的考查,是歷年數(shù)學(xué)真題中難得的一套高水平命題.

(2)考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí),首先要摒棄通過大量刷題來掌握題型套路的應(yīng)考慣性思維和投機(jī)思維(當(dāng)前靠大量刷題來掌握題型套路的應(yīng)考慣性思維和投機(jī)思維的形成實(shí)際上是資本對(duì)學(xué)習(xí)持久扭曲的結(jié)果,這一內(nèi)容剖析參見課程“如何胸有成竹、輕松愉悅地贏取考研成功”中的分析,(

課程獲取方式：騰訊課堂搜索“如何胸有成竹、輕松愉悅地贏取考研成功!”),做到對(duì)考綱要求內(nèi)容的全面復(fù)習(xí),不遺漏所謂的低頻冷門考點(diǎn).在復(fù)習(xí)過程中,要注重對(duì)概念、性質(zhì)、原理和方法的本質(zhì)理解,以題促學(xué),而不是本末倒置的題主學(xué)輔.從整套試題的分析也很容易看出,9中國民生銀行網(wǎng)上銀行0%以上的數(shù)學(xué)命題只需要理解考點(diǎn)本質(zhì),都能很輕松找到對(duì)應(yīng)的解題思路,并不需要大量的刷題,也不存在特別的套路和復(fù)雜的計(jì)算,正如前文的觀點(diǎn):學(xué)習(xí)最好的應(yīng)試技巧是對(duì)內(nèi)容本質(zhì)的把握,這也是教育承載的重要功能之一.《新考研數(shù)學(xué)超級(jí)金講》是所有考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書中唯一注重概念、性質(zhì)、原理和方法本質(zhì)全面深入解析的復(fù)習(xí)全書,推薦作為考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的主體用書.